ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1217

\[\boxed{\text{1217\ (1217).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Простые числа – это числа, которые делятся только на себя и на единицу (2, 3, 5 и т.д.).

Четное число – число, которое делится на 2 без остатка.

Нечетное число – число, которое не делится на 2 без остатка.

Кратное число – это число, которое делится на другое число без остатка.

При решении используем следующее:

1. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:

\[\left( \mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b} \right)\left( \mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\mathbf{.}\]

2. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это же число.

3. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Решение.

\[p^{2} - 2q^{2} = 1\]

\[2q^{2} = p^{2} - 1\]

\[2q^{2} = (p - 1)(p + 1).\]

\[При\ условии,\ \]

\[что\ p - четное\ число,\ (p + 1)\ и\ \]

\[(p - 1) - будет\ нечетным,\]

\[значит,\ их\ произведение\ будет\ \]

\[нечетным,\ \]

\[что\ не\ удовлетворяет\ условию,\]

\[так\ как\ произведение\ должно\ \]

\[быть\ кратно\ 2.\]

\[При\ условии,\ что\ p - нечетное,\]

\[\ p = 2n + 1.\]

\[Тогда:\]

\[2q^{2} =\]

\[= (2n + 1 + 1)(2n + 1 - 1) =\]

\[= (2n + 2) \cdot 2n = 4n(n + 1)\]

\[q^{2} = 2n(n + 1).\]

\[q^{2}\ кратно\ 2,\ то\ простое\ число\ \]

\[удовлетворяющее\ условию\ \]

\[может\ быть\ только\ число\ 2:\]

\[p^{2} - 2q^{2} = 1\]

\[p^{2} = 2q^{2} + 1\]

\[p^{2} = 2 \cdot 2^{2} + 1\]

\[p^{2} = 8 + 1\]

\[p^{2} = 9\]

\[p = 3.\]

\[Ответ:q = 2,\ p = 3\text{.\ }\]