ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1221

\[\boxed{\text{1221\ (1221).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:

1. Умножить (разделить) левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Сложить получившиеся уравнения почленно:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:

\[\mathbf{x + 4 = 10}\]

\[\mathbf{x = 10 - 4}\]

\[\mathbf{x = 6}\]

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки:

1. Выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую.

2. Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной равное ей выражение.

3. Решить получившиеся уравнение с одной переменной.

4. Найти соответствующее значение второй переменной.

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{x + 2}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }} \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2}\mathbf{y}\mathbf{= 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2 \cdot}\left( \mathbf{x + 2} \right)\mathbf{= 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 2}\mathbf{x + 4 = 16} \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = x + 2} \\ \mathbf{6}\mathbf{x = 12\ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x =}\frac{\mathbf{12}}{\mathbf{6}}\mathbf{= 2} \\ \mathbf{y = 2 + 2\ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \mathbf{\ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x = 2} \\ \mathbf{y = 4} \\ \end{matrix} \right.\ \]

(2; 4)

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} x - y = - 1 \\ y - z = - 1 \\ z + x = 8 \\ \end{matrix} + \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} 2x = 6 \\ x - y = - 1 \\ z + x = 8 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} x = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3 - y = - 1 \\ z + 3 = 8\ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 3 \\ y = 4 \\ z = 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:x = 3,\ y = 4,\ z = 5.\ \]

\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} x + y = - 3 \\ y + z = 6 \\ z + x = 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = - 3 - x \\ y = 6 - z \\ z = 1 - x \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} y = - 3 - x \\ - 3 - x = 6 - 1 + x \\ z = 1 - x \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} y = - 3 - x \\ - 2x = 5 + 3 \\ z = 1 - x \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = - 3 - x \\ x = - 4\ \ \ \ \\ z = 1 + 4 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} y = - 3 + 4 \\ x = - 4\ \ \ \ \\ z = 5\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} y = 1 \\ x = - 4 \\ z = 5\ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:x = - 4,\ y = 1,\ z = 5.\ \]

\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} x - y + 2z = 1 \\ x - y - z = - 2 \\ 2x - y + z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} x - y = 1 - 2z \\ (x - y) - z = - 2 \\ 2x - y + z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 - 2z \\ 1 - 2z - z = - 2 \\ 2x - y + z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 - 2z \\ 1 - 3z = - 2\ \ \ \\ 2x - y + z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} x - y = 1 - 2z \\ 3z = 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 2x - y + z = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} z = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ x - y = 1 - 2 \cdot 1 \\ 2x - y + 1 = - 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} z = 1 \\ x - y = - 1 \\ 2x - y = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} z = 1 \\ y = x + 1 \\ 2x - x - 1 = - 2 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ }\]

\[\ \left\{ \begin{matrix} z = 1 \\ x = - 1 \\ y = - 1 + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\left\{ \begin{matrix} z = 1 \\ x = - 1 \\ y = 0 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[Ответ:x = - 1,\ y = 0,\ z = 1.\ \]