\[\boxed{\text{663}\text{\ (663)}\text{.}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[n = 1 \Longrightarrow \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (1 + 1)(1 + 2) = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2 = 1 \cdot 2 \Longrightarrow формула\ верна.\]
\[Допустим,\ что\ формула\ верна\ для\ n = k:\]
\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + .. + k \cdot (k + 1) = \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2) \Longrightarrow верно.\]
\[Приведем\ доказательство\ для\ n = k + 1:\]
\[1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \ldots + k(k + 1) + (k + 1)(k + 2) =\]
\[= \frac{1}{3}k \cdot (k + 1)(k + 2) + (k + 1)(k + 2) = \frac{(k + 1)(k + 2)(k + 3)}{3} =\]
\[= \frac{1}{3}k(k + 1)(k + 2)(k + 3) \Longrightarrow формула\ справедлива \Longrightarrow ч.т.д.\]