Докажите, что функция: f(x)=4/(x-1) убывает на промежутке (1; +∞).

Ответ:

\[f(x) = \frac{4}{x - 1} \Longrightarrow \ убывает\ \]

\[на\ (1;\ + \infty).\]

\[Пусть\ \ \ 1 < x_{1} < x_{2},\ тогда\]

\[\ \frac{4}{x_{1} - 1} - \frac{4}{x_{2} - 1} =\]

\[= \frac{4x_{2}^{2} - 4 - 4x_{1} + 4}{\left( x_{1} - 1\ \right)\left( x_{2} - 1 \right)} =\]

\[= \frac{4 \cdot \left( x_{2} - x_{1} \right)}{\left( x_{1} - 1 \right)\left( x_{2} - 1 \right)} > 0\]

\[\ при\ x_{1} < x_{2},\ \ \ f\left( x_{1} \right) > f\left( x_{2} \right) \Longrightarrow\]

\[\Longrightarrow функция\ убывает.\]