Из двух городов, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через 2 ч 30 мин. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на 3 ч 45 мин больше, чем легковой автомобиль.

Ответ:

\[Пусть\ x\ и\ y - скорости\ точек.\ \]

\[Составим\ систему\ уравнений:\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{360}{y} - \frac{360}{x} = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |\ :2 \\ 12 \cdot (x - y) = 360\ \ \ \ |\ :12 \\ \end{matrix}\text{\ \ \ \ \ \ \ } \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{180}{y} - \frac{180}{x} = 1 \\ x - y = 30\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \text{\ \ \ \ \ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \frac{180}{y} - \frac{180}{30 + y} = 1 \\ x = 30 + y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[- y^{2} - 30y + 5400 = 0\]

\[D = 900 + 21\ 600 = 22\ 500\ \]

\[y_{1} = \frac{30 + 150}{- 2} =\]

\[= - 90 - не\ удовлетворяет.\]

\[y_{2} = \frac{30 - 150}{- 2} = 60.\]

\[60 + 30 = 90 = x.\]

\[360\ :60 = 6\ (с) - проходит\ \]

\[окружность\ одна\ точка.\]

\[360\ :90 = 4\ (с) - проходит\ \]

\[другая\ точка.\]

\[Ответ:6\ с;\ \ 4\ с.\]