а) Поскольку точки M и P находятся по одну сторону от b, а перпендикуляры к b равны, точки M и P расположены на одинаковом расстоянии от прямой b. Следовательно, отрезок MP параллелен b. Точки N и Q лежат на b, поэтому NQ ∥ MP.

Так как O — середина NQ, то ON = OQ. Четырёхугольник NMPQ — трапеция с основаниями NQ и MP, а её боковые стороны MN и PQ равны. Значит, трапеция равнобедренная, поэтому её диагонали NP и MQ равны. Их точка пересечения O делит диагонали пропорционально основаниям; поскольку O — середина NQ, из симметрии равнобедренной трапеции следует, что OM = OP. Тогда треугольник OMP равнобедренный, и его углы при основании равны: ∠OMP = ∠OPM.

б) Точки N, O, Q лежат на одной прямой, поэтому лучи ON и OQ противоположны. Углы NOM и MOQ смежные. В равнобедренном треугольнике OMP при ∠MOP = 105° углы при основании равны: (180° − 105°) : 2 = 37,5°. Поскольку OM и OQ лежат на одной прямой, ∠MOQ равен углу между OM и MP, то есть 37,5°. Следовательно, ∠NOM = 180° − 37,5° = 142,5°.

Ответ: а) ∠OMP = ∠OPM; б) ∠NOM = 142,5°.

Поделись с друзьями