ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1085

\[\boxed{\text{1085\ (1085).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Координаты точки – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (x), а на втором – ордината точки (у): A (x; y).

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:

1. Умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Сложить получившиеся уравнения почленно:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:

\[\mathbf{x + 4 = 10}\]

\[\mathbf{x = 10 - 4}\]

\[\mathbf{x = 6}\]

4. Записать решение:

(6; 4)

Свойства уравнений с двумя переменными:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} 12x - 7y = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 4x - 5y = 6\ \ | \cdot ( - 3) \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 12x - 7y = 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ - 12x + 15y = - 18 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 8y = - 16 \rightarrow y = - 2 \\ 12x - 7 \cdot ( - 2) = 2\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[12x = 2 - 14\]

\[12x = - 12\]

\[x = - 1\]

\[Ответ:( - 1;\ - 2).\]

\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} 7u + 2v = 1\ \ | \cdot ( - 3) \\ 17u + 6v = - 9\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 21u - 6v = - 3 \\ 17u + 6v = - 9\ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 4u = - 12 \rightarrow u = 3 \\ 7 \cdot 3 + 2v = 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2v = 1 - 21\]

\[2v = - 20\]

\[v = - 10\]

\[Ответ:(3;\ - 10).\]

\[\textbf{в)}\left\{ \begin{matrix} 6x = 25y + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 5 \\ 5x - 16y = - 4\ \ | \cdot ( - 6) \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 30x - 125y = 5 \\ - 30x + 96y = 24 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} - 29y = 29 \rightarrow y = - 1 \\ 6x = 25 \cdot ( - 1) + 1 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[6x = - 24\]

\[x = - 4\]

\[Ответ:( - 4;\ - 1).\]

\[\textbf{г)}\left\{ \begin{matrix} 4b + 7a = 90\ \ \ | \cdot 3 \\ 5a - 6b = 20\ \ \ | \cdot 2 \\ \end{matrix} \right.\ \ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 12b + 21a = 270 \\ - 12b + 10a = 40\ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 31a = 310 \rightarrow a = 10 \\ 4b + 7 \cdot 10 = 90\ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[4b = 20\]

\[b = 5\]

\[Ответ:(10;5).\]