ГДЗ по алгебре 7 класс Макарычев Задание 1095

\[\boxed{\text{1095\ (1095).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]

Пояснение.

Системой линейных уравнений называют два и более уравнения с несколькими переменными (буквы x, y и т.д.), для которых необходимо найти общее решение.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство.

Координаты точки – это пара чисел, в которой на первом месте стоит абсцисса (x), а на втором – ордината точки (у): A (x; y).

Алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения:

1. Умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты (число перед буквой) при одной из переменных в разных уравнениях стали противоположными числами:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{x + y = 10\ \ | \bullet ( - 4)\ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x + 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{= - 40\ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

2. Сложить получившиеся уравнения почленно:

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{- 4}\mathbf{x}\mathbf{+}\left( \mathbf{- 4}\mathbf{y} \right)\mathbf{=}\mathbf{- 40}\mathbf{\ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{y}\mathbf{=}\mathbf{44}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }} \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} \mathbf{y = 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ \mathbf{4}\mathbf{x}\mathbf{+ 5}\mathbf{y = 44\ } \\ \end{matrix} \right.\ \]

3. Подставить полученное значение в одно из уравнений и найти значение второй переменной:

\[\mathbf{x + 4 = 10}\]

\[\mathbf{x = 10 - 4}\]

\[\mathbf{x = 6}\]

4. Записать решение:

(6; 4)

Свойства уравнений с двумя переменными:

1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;

2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля, то получится уравнение, равносильное данному.

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.

Решение.

\[\textbf{а)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3}x - \frac{1}{12}y = 4\ \ \ | \cdot 12 \\ 6x + 5y = 150\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 4x - y = 48\ \ | \cdot 5 \\ 6x + 5y = 150\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 20x - 5y = 240 \\ 6x + 5y = 150\ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 26x = 390 \rightarrow x = 15 \\ y = 4x - 48\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} x = 15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ y = 4 \cdot 15 - 48 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[y = 12\]

\[Ответ:(15;12).\]

\[\textbf{б)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{3}v - \frac{1}{8}u = 3\ \ | \cdot 24 \\ 7u + 9v = - 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 8v - 3u = 72\ \ \ | \cdot 7 \\ 7u + 9v = - 2\ \ | \cdot 3 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 21u + 56v = 504 \\ 21u + 27v = - 6\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 83v = 498 \rightarrow v = 6 \\ 3u = 8v - 72\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[3u = 8 \cdot 6 - 72\]

\[u = \frac{48 - 72}{3} = - \frac{24}{3} = - 8\]

\[Ответ:(6;\ - 8).\]

\[\textbf{в)}\ \left\{ \begin{matrix} \frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1\ \ \ | \cdot 12 \\ 2x + 3y = - 12\ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 3x + 2y = 12\ \ \ | \cdot ( - 2) \\ 2x + 3y = - 12\ \ \ | \cdot (3) \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} - 6x - 4y = - 24 \\ 6x + 9y = - 36\ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} 5y = - 60 \rightarrow y = - 12 \\ 2x = - 12 - 3y\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[2x = - 12 - 3 \cdot ( - 12)\]

\[x = \frac{- 12 + 36}{2} = 12\]

\[Ответ:12;\ - 12).\]

\[\textbf{г)}\ \left\{ \begin{matrix} 4a - 5b - 10 = 0\ \ \ \ \\ \frac{a}{5} - \frac{b}{3} + \frac{1}{3} = 0\ \ | \cdot 15 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 4a - 5b = 10\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 3a - 5b + 5 = 0\ \ | \cdot ( - 1) \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[\left\{ \begin{matrix} 4a - 5b = 10 \\ - 3a + 5b = 5 \\ \end{matrix} \right.\ ( + )\]

\[\left\{ \begin{matrix} a = 15\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ 5b = 3a + 5 \\ \end{matrix} \right.\ \]

\[5b = 3 \cdot 15 + 5\]

\[b = \frac{50}{5} = 10\ \]

\[Ответ:(15;10).\]