\[\boxed{\text{575\ (575).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
\[x^{2} \geq 0;\ \ y^{2} \geq 0 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow x^{2} + y^{2} \geq 0 \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow x^{2} + y^{2} + 1 > 0.\ \ \ \]
\[Следовательно,\ многочлен\ \]
\[x^{2} + y^{2} + 1\ \ при\ любых\]
\[значениях\ \ \text{x\ }и\ \text{y\ }принимает\ \]
\[положительные\ значения.\]