\[\boxed{\text{900\ (900).}\text{\ }\text{Еуроки\ -\ ДЗ\ без\ мороки}}\]
Пояснение.
Простые числа – это такие числа, которые делятся на себя и на единицу (например: 2, 3, 5, 7 и т. д.).
Кратное число – это число, делящееся на данное целое число без остатка.
Четное число – делится на 2 без остатка.
Нечетное число – не делится на 2 без остатка.
При решении используем следующее:
1. Формулу произведения разности двух выражений на их сумму – произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений:
\[\left( \mathbf{a - b} \right)\left( \mathbf{a + b} \right)\mathbf{=}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}\mathbf{-}\mathbf{b}^{\mathbf{2}}\]
2. Если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Решение.
\[1)\ 7² - 1 = (7 - 1)(7 + 1) =\]
\[= 6 \cdot 8 = 48\ :12 = 4\]
\[2)\ p^{2} - 1 = (p - 1)(p + 1) \Longrightarrow\]
\[\Longrightarrow кратно\ 4,\ так\ как\ если\ \]
\[p - простое\ число,\ значит,\ \]
\[оно\ нечетное.\ Тогда\ числа\ \]
\[(p - 1)\ и\ \ (p + 1)\ четные,\]
\[значит,\ они\ делятся\ на\ 2.\ \]
\[А\ так\ как\ числа\ два,\ то:\ \]
\[(p - 1)(p + 1) - делится\ на\ 4.\]
\[3)\ (p - 1)(p + 1)\ \ кратно\ 3,\ \]
\[так\ (p - 1);p;(p + 1) - три\ \]
\[последовательных\ \ числа,\ \]
\[а\ так\ как\ p - простое\ число,\ \]
\[значит,либо\ (p - 1)\ делится\ \]
\[на\ 3,\ либо\ (p + 1).\]
\[4)\ Вывод:\ \ (p - 1)(p + 1)\text{\ \ }\]
\[делится\ на\ 4\ и\ на\ 3 \Longrightarrow значит,\ \]
\[делится\ на\ 12.\]