① Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в т.О. Найти угол между диагоналями, если <ABO = 30. 2). В П-ме КМНР проведена биссектриса < МКР, которая пересекает сторону МN в т. Е. а) Док-ть, что ΔКМЕ равн.бед; б) Найти КР, если МЕ=10см, а периметр П-ма 52 см 5 Дано: ΔАВС, MA=MB=BN=NC=MN=8см Найти: а) стороны ΔАВС; б) углы ΔАВС.

1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Нужно найти угол между диагоналями, если угол ABO равен 30 градусам. Решение: Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник AOB равнобедренный (AO = BO). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, угол BAO = углу ABO = 30 градусов. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому угол AOB = 180 - (30 + 30) = 120 градусов. Угол между диагоналями – это угол AOB или смежный с ним угол. Смежный угол равен 180 - 120 = 60 градусов. Угол между диагоналями равен либо 120, либо 60 градусов. Обычно выбирают меньший угол, значит, ответ 60 градусов. Ответ: 60 градусов. 2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Доказать, что треугольник KME равнобедренный. б) Найти KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. Решение: а) Доказательство, что треугольник KME равнобедренный: Так как KE - биссектриса угла MKP, то угол MKE = углу EKP. Угол EKP равен углу MEN как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых KP и MN и секущей KE. Следовательно, угол MKE = углу MEN. Значит, треугольник KME равнобедренный, так как углы при основании ME равны. б) Найти KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см. Так как треугольник KME равнобедренный, то KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма KMNP равен 2(KM + KP) = 52 см. Подставим значение KM: 2(10 + KP) = 52 10 + KP = 26 KP = 26 - 10 = 16 см. Ответ: а) Треугольник KME равнобедренный доказано; б) KP = 16 см. 5. Дано: треугольник ABC, MA = MB = BN = NC = MN = 8 см. Найти: а) стороны треугольника ABC; б) углы треугольника ABC. Решение: а) Найдем стороны треугольника ABC: Так как MA = MB, то M - середина стороны AB. Аналогично, N - середина стороны BC. MN - средняя линия треугольника ABC. Значит, AC = 2 * MN = 2 * 8 = 16 см. Так как MA = MB = 8 см, то AB = 2 * MA = 2 * 8 = 16 см. Так как BN = NC = 8 см, то BC = 2 * BN = 2 * 8 = 16 см. Стороны треугольника ABC равны: AB = BC = AC = 16 см. Значит, треугольник ABC равносторонний. б) Найдем углы треугольника ABC: Так как треугольник ABC равносторонний, то все его углы равны. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов. Значит, каждый угол равен 180 / 3 = 60 градусов. Ответ: а) AB = BC = AC = 16 см; б) все углы равны 60 градусов.