№1: Луч ОС делит развернутый угол АОВ на два угла. Угол АОС на 30° меньше угла ВОС. Найдите образовавшиеся углы. №2: Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Докажите, что ∠AOC = ∠BOD.

№1:

Обозначим угол AOC за $$x$$. Тогда угол BOC будет $$x + 30^circ$$.

Так как луч OC делит развернутый угол AOB, то сумма углов AOC и BOC равна 180 градусам.

Составим уравнение:

$$x + (x + 30^circ) = 180^circ$$

Решим уравнение:

$$2x + 30^circ = 180^circ$$ $$2x = 150^circ$$ $$x = 75^circ$$

Угол AOC равен 75 градусам.

Найдем угол BOC:

$$75^circ + 30^circ = 105^circ$$

Угол BOC равен 105 градусам.

Ответ: Угол AOC = 75°, угол BOC = 105°.

№2:

Дано: Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, AO = OB, CO = OD.

Доказать: ∠AOC = ∠BOD.

Доказательство:

Рассмотрим углы AOC и BOD. Они являются вертикальными углами, так как образуются при пересечении двух прямых AB и CD.

Вертикальные углы равны. Следовательно, ∠AOC = ∠BOD.

Что и требовалось доказать.