1 часть - тест 1) Один из смежных углов равен 40°. Чему равен другой угол? А.40° Б. 140° В.180° Г. невозможно вычислить 2) Выберите правильные утверждения: А. Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны Б. Два треугольника равны, если в них равны по две стороны и по углу между ними. В. Две прямые параллельны, если односторонние углы равны. Г. Два треугольника равны, если в этих треугольниках равны по две стороны и по одному углу. Д. Две прямые параллельны, если вертикальные углы равны. 3) Два угла треугольника равны 107° и 23°. Чему равен третий угол этого треугольника? А.130° Б. 107° В. 50° Г. невозможно вычислить 4) Используя данные, приведенные на рисунке, укажите те, на которых изображены равнобедренные треугольники. 1) 2) 35° 35° 90° 45° 3) 4) 40° 70° 55° 65° 5) Треугольник АВС - равнобедренный (АВ=BC). BD- высота, угол С равен 30°, BD=4 м, АС= 6 м. Найдите периметр треугольника BDC. А. 14 Б. 22 В. 15 Г. невозможно вычислить. 2 часть - решение задач. 6) Отрезки AD и ВС пересекаются в точке К. Отрезки АВ и CD параллельны и равны. Докажите, что точка К является серединой ВС. 7) На рисунке отрезок МР параллелен стороне СЕ, луч МК - биссектриса угла ВМР. Найдите угол ВКМ. C M70 50° B K P E 8) Докажите, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из

1 часть - тест

1. Сумма смежных углов равна 180°. Если один угол равен 40°, то другой равен \( 180° - 40° = 140° \).
2. А. Две прямые параллельны, если накрест лежащие углы равны. (Это признак параллельности прямых).
3. Сумма углов треугольника равна 180°. Третий угол равен \( 180° - 107° - 23° = 50° \).
4. Равнобедренные треугольники имеют два равных угла. В первом рисунке два угла по 35°, значит, это равнобедренный треугольник.
5. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) высота BD делит основание AC пополам. Треугольник BDC — прямоугольный. В нем \( ∠ C = 30° \), \( BD = 4 \) м. Тогда \( BC = \frac{BD}{\sin 30°} = \frac{4}{0.5} = 8 \) м. \( DC = \frac{BD}{\tan 30°} = \frac{4}{1/\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \) м. По условию AC = 6 м, значит, DC = 3 м. При противоречии в условиях (BD=4, AC=6, ∠C=30) невозможно найти периметр.

2 часть - решение задач.

6. Рассмотрим треугольники ABK и DCK. AB || CD (по условию), значит, \( ∠ BAK = ∠ DCK \) (накрест лежащие углы при секущей AD) и \( ∠ ABK = ∠ CDK \) (накрест лежащие углы при секущей BC). Так как AB = CD (по условию) и \( ∠ BAK = ∠ DCK \), \( ∠ ABK = ∠ CDK \), то треугольники ABK и DCK равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Следовательно, AK = DK и BK = CK. Так как BK = CK, то точка K является серединой BC.
7. Угол C равен 50°. Так как MP || CE, то \( ∠ MPC = ∠ BCE = 50° \) (соответственные углы). Угол B равен 70°. Угол CMP равен 70° (так как MP || CE, то \( ∠ BMP = ∠ BCE = 70° \) как соответственные). Так как MK — биссектриса угла BMP, то \( ∠ BMK = ∠ KMP = \frac{70°}{2} = 35° \). Угол BKМ равен \( 180° - ∠ B - ∠ BMK = 180° - 70° - 35° = 75° \).
8. Чтобы доказать, что основание равнобедренного треугольника параллельно биссектрисе одного из углов при основании, нужно найти величину угла между основанием и биссектрисой.