1. \( \int \frac{4x^5 + 8x^2 + 2 - 3x}{x^2} dx \)

Решение:

Для решения данного интеграла, сначала разделим каждый член числителя на \( x^2 \):

1. Разделим числитель на \( x^2 \): \( \frac{4x^5}{x^2} + \frac{8x^2}{x^2} + \frac{2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} = 4x^3 + 8 + 2x^{-2} - 3x^{-1} \)
2. Проинтегрируем полученное выражение по частям: \( \int (4x^3 + 8 + 2x^{-2} - 3x^{-1}) dx \)
3. Применим правило степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и правило для \( x^{-1} \): \( \int x^{-1} dx = \ln|x| + C \).
4. Интегрируем каждый член: \( 4 \frac{x^{3+1}}{3+1} + 8x + 2 \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 3 \ln|x| + C \)
5. Упрощаем: \( 4 \frac{x^4}{4} + 8x + 2 \frac{x^{-1}}{-1} - 3 \ln|x| + C \)
6. Окончательный результат: \( x^4 + 8x - 2x^{-1} - 3 \ln|x| + C \)

Ответ: \( x^4 + 8x - \frac{2}{x} - 3 \ln|x| + C \)