1. Найдите наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное чисел 24 и 122. Делятся ли НОК (24; 122) на 2, 3, 5, 9, 10? Разложите это число на простые множители.

Решение:

1. Найдём наибольший общий делитель (НОД) чисел 24 и 122:
   1. Разложим числа на простые множители:
   • \( 24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \)
   • \( 122 = 2 \cdot 61 \)
   2. Общие простые множители: 2.
   3. НОД(24; 122) = 2.
2. Найдём наименьшее общее кратное (НОК) чисел 24 и 122:
   1. НОК(24; 122) = \( \frac{24 \cdot 122}{НОД(24; 122)} = \frac{24 \cdot 122}{2} = 12 \cdot 122 = 1464 \)
3. Проверим, делятся ли НОК (1464) на 2, 3, 5, 9, 10:
   1. 1464 делится на 2 (число чётное).
   2. \( 1+4+6+4 = 15 \). 15 делится на 3, значит, 1464 делится на 3.
   3. 1464 не делится на 5 (не заканчивается на 0 или 5).
   4. 1464 не делится на 9 (сумма цифр 15 не делится на 9).
   5. 1464 не делится на 10 (не заканчивается на 0).
4. Разложим НОК (1464) на простые множители:
   1. \( 1464 = 2 \cdot 732 \)
   2. \( 732 = 2 \cdot 366 \)
   3. \( 366 = 2 \cdot 183 \)
   4. \( 183 = 3 \cdot 61 \)
   5. \( 61 \) — простое число.
   6. \( 1464 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 61 = 2^3 \cdot 3 \cdot 61 \)

Ответ: НОД(24; 122) = 2, НОК(24; 122) = 1464. НОК делится на 2 и 3. Разложение на простые множители: \( 2^3 \cdot 3 \cdot 61 \).