1. В треугольнике ABC высота BD делит угол B на два угла, причем ∠ABD = 40°, ∠CBD = 10°. a) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и укажите его основание. б) Высоты данного треугольника пересекаются в точке О. Найдите ∠BOC.

1. Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( BD \) — высота, \( BD \) делит \( \angle B \) на \( \angle ABD = 40^{\circ} \) и \( \angle CBD = 10^{\circ} \).

а) Доказать, что \( \triangle ABC \) равнобедренный.

Доказательство:

1. \( \angle B = \angle ABD + \angle CBD = 40^{\circ} + 10^{\circ} = 50^{\circ} \).
2. Так как \( BD \) — высота, то \( \angle BDA = 90^{\circ} \).
3. В \( \triangle BDC \): \( \angle BCD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 10^{\circ} = 80^{\circ} \).
4. \( \angle BAC = 180^{\circ} - \angle B - \angle BCD = 180^{\circ} - 50^{\circ} - 80^{\circ} = 50^{\circ} \).
5. Так как \( \angle BAC = \angle B = 50^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) равнобедренный с основанием \( AC \).

Основание: \( AC \).

б) Найти \( \angle BOC \).

Решение:

1. Высоты \( BD \) и \( AO \) пересекаются в точке \( O \).
2. Рассмотрим \( \triangle BOC \).
3. \( \angle OBC = \angle CBD = 10^{\circ} \).
4. \( CO \) — высота, проведенная из вершины \( C \) к стороне \( AB \). Следовательно, \( \angle BCO = 90^{\circ} - \angle B = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).
5. \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle OBC - \angle BCO = 180^{\circ} - 10^{\circ} - 40^{\circ} = 130^{\circ} \).

Ответ: а) \( AC \); б) \( 130^{\circ} \).