1. Выполните сложение: a) 4/5 + 3/7 b) 5/18 + 4/45 2. Выполните вычитание: a) 5/9 - 7/18 b) 11/16 - 5/12 3. Выполните действия: a) 3 7/8 + 2 5/12 b) 8 9/15 - 4 9/20 4. Выполните умножение: a) 5/9 · 4/7 b) 3 1/8 · 2 5/15 5. Выполните деление: a) 3/2 : 8/3 b) 16/17 : 8 6. Решите уравнения: a) 7/12 : a = 2/3 b) 1 3/7 · z + 7/8 = 1 3/8

Задание 1. Выполните сложение

а) \( \frac{4}{5} + \frac{3}{7} \)

1. Найдём общий знаменатель для 5 и 7. Это 35.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{4}{5} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{28}{35} \) и \( \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{15}{35} \).
3. Сложим дроби: \( \frac{28}{35} + \frac{15}{35} = \frac{28 + 15}{35} = \frac{43}{35} \).
4. Выделим целую часть: \( \frac{43}{35} = 1 \frac{8}{35} \).

б) \( \frac{5}{18} + \frac{4}{45} \)

1. Найдём общий знаменатель для 18 и 45. Разложим числа на простые множители: 18 = 2 \(\cdot\) 3^2, 45 = 3^2 \(\cdot\) 5. Наименьшее общее кратное (НОК) равно 2 \(\cdot\) 3^2 \(\cdot\) 5 = 90.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{25}{90} \) и \( \frac{4}{45} = \frac{4 \cdot 2}{45 \cdot 2} = \frac{8}{90} \).
3. Сложим дроби: \( \frac{25}{90} + \frac{8}{90} = \frac{25 + 8}{90} = \frac{33}{90} \).
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{33}{90} = \frac{11}{30} \).

Ответ: а) \( 1 \frac{8}{35} \), б) \( \frac{11}{30} \).

Задание 2. Выполните вычитание

а) \( \frac{5}{9} - \frac{7}{18} \)

1. Найдём общий знаменатель для 9 и 18. Это 18.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{10}{18} \).
3. Вычтем дроби: \( \frac{10}{18} - \frac{7}{18} = \frac{10 - 7}{18} = \frac{3}{18} \).
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( \frac{3}{18} = \frac{1}{6} \).

б) \( \frac{11}{16} - \frac{5}{12} \)

1. Найдём общий знаменатель для 16 и 12. Разложим числа на простые множители: 16 = 2^4, 12 = 2^2 \(\cdot\) 3. НОК равно 2^4 \(\cdot\) 3 = 48.
2. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{11}{16} = \frac{11 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{33}{48} \) и \( \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48} \).
3. Вычтем дроби: \( \frac{33}{48} - \frac{20}{48} = \frac{33 - 20}{48} = \frac{13}{48} \).

Ответ: а) \( \frac{1}{6} \), б) \( \frac{13}{48} \).

Задание 3. Выполните действия

а) \( 3 \frac{7}{8} + 2 \frac{5}{12} \)

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 3 \frac{7}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{31}{8} \) и \( 2 \frac{5}{12} = \frac{2 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{29}{12} \).
2. Найдём общий знаменатель для 8 и 12. НОК равно 24.
3. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{31}{8} = \frac{31 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{93}{24} \) и \( \frac{29}{12} = \frac{29 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{58}{24} \).
4. Сложим дроби: \( \frac{93}{24} + \frac{58}{24} = \frac{93 + 58}{24} = \frac{151}{24} \).
5. Выделим целую часть: \( \frac{151}{24} = 6 \frac{7}{24} \).

б) \( 8 \frac{9}{15} - 4 \frac{9}{20} \)

1. Сократим дробную часть в первом числе: \( 8 \frac{9}{15} = 8 \frac{3}{5} \).
2. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 8 \frac{3}{5} = \frac{8 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{43}{5} \) и \( 4 \frac{9}{20} = \frac{4 \cdot 20 + 9}{20} = \frac{89}{20} \).
3. Найдём общий знаменатель для 5 и 20. Это 20.
4. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{43}{5} = \frac{43 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{172}{20} \).
5. Вычтем дроби: \( \frac{172}{20} - \frac{89}{20} = \frac{172 - 89}{20} = \frac{83}{20} \).
6. Выделим целую часть: \( \frac{83}{20} = 4 \frac{3}{20} \).

Ответ: а) \( 6 \frac{7}{24} \), б) \( 4 \frac{3}{20} \).

Задание 4. Выполните умножение

а) \( \frac{5}{9} \cdot \frac{4}{7} \)

1. Умножим числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель: \( \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 7} = \frac{20}{63} \).

б) \( 3 \frac{1}{8} \cdot 2 \frac{5}{15} \)

1. Сократим дробную часть во втором смешанном числе: \( 2 \frac{5}{15} = 2 \frac{1}{3} \).
2. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 3 \frac{1}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{25}{8} \) и \( 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} \).
3. Умножим дроби: \( \frac{25}{8} \cdot \frac{7}{3} = \frac{25 \cdot 7}{8 \cdot 3} = \frac{175}{24} \).
4. Выделим целую часть: \( \frac{175}{24} = 7 \frac{7}{24} \).

Ответ: а) \( \frac{20}{63} \), б) \( 7 \frac{7}{24} \).

Задание 5. Выполните деление

а) \( \frac{3}{2} : \frac{8}{3} \)

1. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: \( \frac{3}{2} : \frac{8}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{8} \).
2. Умножим дроби: \( \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 8} = \frac{9}{16} \).

б) \( \frac{16}{17} : 8 \)

1. Представим целое число 8 как дробь \( \frac{8}{1} \).
2. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: \( \frac{16}{17} : \frac{8}{1} = \frac{16}{17} \cdot \frac{1}{8} \).
3. Умножим дроби: \( \frac{16 \cdot 1}{17 \cdot 8} = \frac{16}{136} \).
4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 8: \( \frac{16}{136} = \frac{2}{17} \).

Ответ: а) \( \frac{9}{16} \), б) \( \frac{2}{17} \).

Задание 6. Решите уравнения

а) \( \frac{7}{12} : a = \frac{2}{3} \)

1. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель: \( a = \frac{7}{12} : \frac{2}{3} \).
2. Выполним деление: \( a = \frac{7}{12} \cdot \frac{3}{2} = \frac{7 \cdot 3}{12 \cdot 2} = \frac{21}{24} \).
3. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: \( a = \frac{7}{8} \).

б) \( 1 \frac{3}{7} \cdot z + \frac{7}{8} = 1 \frac{3}{8} \)

1. Переведём смешанные числа в неправильные дроби: \( 1 \frac{3}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{10}{7} \) и \( 1 \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{11}{8} \).
2. Уравнение примет вид: \( \frac{10}{7} \cdot z + \frac{7}{8} = \frac{11}{8} \).
3. Вычтем \( \frac{7}{8} \) из обеих частей уравнения: \( \frac{10}{7} \cdot z = \frac{11}{8} - \frac{7}{8} \).
4. \( \frac{10}{7} \cdot z = \frac{11 - 7}{8} = \frac{4}{8} \).
5. Сократим дробь \( \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \).
6. Уравнение примет вид: \( \frac{10}{7} \cdot z = \frac{1}{2} \).
7. Чтобы найти \( z \), нужно \( \frac{1}{2} \) разделить на \( \frac{10}{7} \): \( z = \frac{1}{2} : \frac{10}{7} \).
8. Выполним деление: \( z = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{10} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 10} = \frac{7}{20} \).

Ответ: а) \( a = \frac{7}{8} \), б) \( z = \frac{7}{20} \).