10. Решите уравнение sin (π(2x-3)/4) = -√2/2. В ответе напишите положительный корень.

Решение:

У нас есть тригонометрическое уравнение: \[ \sin\[ \frac{\pi(2x-3)}{4} \] = -\(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \]

Сначала найдем все значения аргумента \( \theta = \frac{\pi(2x-3)}{4} \), для которых синус равен \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Мы знаем, что \( \sin(\alpha) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( \alpha = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \) и \( \alpha = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \(k\) — любое целое число.

Теперь приравняем наш аргумент к этим значениям:

Случай 1:

\[ \frac{\pi(2x-3)}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \]

Разделим обе части на \(\pi\) и умножим на 4, чтобы избавиться от дробей:

\[ 2x-3 = 5 + 8k \]

Прибавим 3 к обеим частям:

\[ 2x = 8 + 8k \]

Разделим на 2:

\[ x = 4 + 4k \]

Случай 2:

\[ \frac{\pi(2x-3)}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \]

Аналогично:

\[ 2x-3 = 7 + 8k \]

\[ 2x = 10 + 8k \]

\[ x = 5 + 4k \]

Теперь нам нужно найти положительный корень. Подставим разные целые значения \(k\).

Из случая 1 (x = 4 + 4k):

• Если \(k = 0\), то \(x = 4 + 4*0 = 4\). Это положительный корень.
• Если \(k = -1\), то \(x = 4 + 4*(-1) = 0\). Это не положительный корень.
• Если \(k = -2\), то \(x = 4 + 4*(-2) = -4\). Отрицательный корень.

Из случая 2 (x = 5 + 4k):

• Если \(k = 0\), то \(x = 5 + 4*0 = 5\). Это положительный корень.
• Если \(k = -1\), то \(x = 5 + 4*(-1) = 1\). Это положительный корень.
• Если \(k = -2\), то \(x = 5 + 4*(-2) = -3\). Отрицательный корень.

У нас есть несколько положительных корней: 4, 5, 1.

В задании просят написать положительный корень. Если имеется в виду наименьший положительный корень, то это 1. Если любой положительный корень, то можно выбрать любой из них. Так как в задании не указано, какой именно положительный корень нужен (наименьший, наибольший и т.д.), выберем наименьший положительный корень.

Ответ: 1