15. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам (угол C общий, углы CDE и CAB равны как накрест лежащие при параллельных DE и AB и секущей AC). Отношение коэффициента подобия по сторонам равно \( \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \).

Площадь треугольника АВС равна:

\( S_{ABC} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 97 = 388 \).

Ответ: 388