19. Среднее арифметическое семи различных натуральных чисел равно 12. Среднее арифметическое этих чисел и восьмого числа равно 13. Чему равно восьмое число?

Решение:

Пусть семь различных натуральных чисел будут \( a_1, a_2, ..., a_7 \). Их среднее арифметическое равно 12. Это означает, что сумма этих чисел делится на 7 и равна 12:

\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_7}{7} = 12 \]

Следовательно, сумма семи чисел равна:

\[ a_1 + a_2 + ... + a_7 = 12 \times 7 = 84 \]

Теперь добавим восьмое число, обозначим его как \( a_8 \). Среднее арифметическое семи чисел и восьмого числа равно 13. Это означает, что сумма всех восьми чисел делится на 8 и равна 13:

\[ \frac{a_1 + a_2 + ... + a_7 + a_8}{8} = 13 \]

Мы уже знаем, что сумма первых семи чисел равна 84. Подставим это значение в уравнение:

\[ \frac{84 + a_8}{8} = 13 \]

Чтобы найти \( a_8 \), умножим обе стороны уравнения на 8:

\[ 84 + a_8 = 13 \times 8 \]

\[ 84 + a_8 = 104 \]

Теперь вычтем 84 из обеих сторон, чтобы найти \( a_8 \):

\[ a_8 = 104 - 84 \]

\[ a_8 = 20 \]

Таким образом, восьмое число равно 20.

Ответ: 20