2 cos² x - cos x - 1 = 0. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-4π; -5/2π].

Привет! Давай разберем это тригонометрическое уравнение шаг за шагом.

1. Замена переменной

Для удобства введем замену: пусть y = cos x. Тогда наше уравнение примет вид квадратного:

2. Решение квадратного уравнения

Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

Теперь найдем значения y:

3. Обратная замена

Теперь вернемся к нашей переменной x:

• Случай 1: cos x = 1

Это частный случай. Решение этого уравнения: x = 2πn, где n — целое число.

• Случай 2: cos x = -1/2

Основные значения арккосинуса для этого случая: x = 2π/3 и x = -2π/3.

Общее решение этого уравнения: x = ±2π/3 + 2πk, где k — целое число.

4. Поиск корней на заданном отрезке

Нам нужно найти корни на отрезке [-4π; -5/2π]. Это примерно [-12.566; -7.854].

Рассмотрим каждый случай:

Случай 1: x = 2πn

• Если n = -1, то x = -2π (не входит в отрезок).
• Если n = -2, то x = -4π (входит в отрезок).
• Если n = -3, то x = -6π (не входит в отрезок).

Случай 2: x = ±2π/3 + 2πk

• Вариант x = 2π/3 + 2πk:
• Если k = -1, то x = 2π/3 - 2π = -4π/3 (не входит в отрезок).
• Если k = -2, то x = 2π/3 - 4π = -10π/3 (входит в отрезок, т.к. -10/3 ≈ -3.33, а -5/2 = -2.5. Ошибка в вычислении: -10/3 ≈ -3.33, а -5/2 = -2.5, поэтому -10π/3 НЕ входит в отрезок [-4π; -2.5π]. Отрезок [-4π; -2.5π], где -4π ≈ -12.56 и -2.5π ≈ -7.85. -10π/3 ≈ -10.47, что входит в отрезок.
• Вариант x = -2π/3 + 2πk:
• Если k = -1, то x = -2π/3 - 2π = -8π/3 (входит в отрезок, т.к. -8/3 ≈ -2.67, а -5/2 = -2.5, поэтому -8π/3 НЕ входит в отрезок [-4π; -2.5π]. Ошибка в вычислении: -8π/3 ≈ -8.37, что входит в отрезок.
• Если k = -2, то x = -2π/3 - 4π = -14π/3 (входит в отрезок, т.к. -14/3 ≈ -4.67, что входит в отрезок.

5. Итоговый ответ

Корни, принадлежащие отрезку [-4π; -5/2π]:

• -4π (из первого случая, при n=-2)
• -10π/3 (из второго случая, при k=-2)
• -8π/3 (из второго случая, при k=-1)
• -14π/3 (из второго случая, при k=-2)

Давайте еще раз проверим интервал [-4π; -2.5π]:

-4π ≈ -12.566

-2.5π ≈ -7.854

-2π ≈ -6.283 (не входит)

-4π/3 ≈ -4.189 (не входит)

-8π/3 ≈ -8.378 (входит)

-10π/3 ≈ -10.472 (входит)

-14π/3 ≈ -14.661 (не входит)

Кажется, в моем предыдущем расчете было допущено много ошибок. Сейчас пересчитаю внимательно.

Перепроверка:

1. cos x = 1

x = 2πn

n = -1 => x = -2π (не входит в [-4π; -2.5π])

n = -2 => x = -4π (входит в [-4π; -2.5π])

2. cos x = -1/2

x = ±2π/3 + 2πk

Вариант 1: x = 2π/3 + 2πk

k = -1 => x = 2π/3 - 2π = -4π/3 (не входит в [-4π; -2.5π])

k = -2 => x = 2π/3 - 4π = -10π/3. -10/3 ≈ -3.33. -2.5. -4π ≈ -12.56. -10π/3 ≈ -10.47. Этот корень входит в отрезок [-4π; -2.5π].

Вариант 2: x = -2π/3 + 2πk

k = -1 => x = -2π/3 - 2π = -8π/3. -8/3 ≈ -2.67. -2.5. -8π/3 ≈ -8.378. Этот корень входит в отрезок [-4π; -2.5π].

k = -2 => x = -2π/3 - 4π = -14π/3. -14/3 ≈ -4.67. -4π ≈ -12.56. -14π/3 ≈ -14.66. Этот корень не входит в отрезок [-4π; -2.5π], так как он меньше -4π.

Итоговые корни:

• -4π
• -10π/3
• -8π/3

Ответ: -4π; -10π/3; -8π/3