№ 2. Рисунок 1. Дано: "АВ: "BC = 11 : 12. Найдите \( \angle BCA, \angle BAC \).

Решение:

По рисунку видно, что \( \angle BOC = 130^{\circ} \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, градусная мера дуги BC равна \( 130^{\circ} \).

Угол \( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается:

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга BC} = \frac{1}{2} \cdot 130^{\circ} = 65^{\circ} \].

Центр окружности — О. Радиусы OB и OC равны. Треугольник OBC — равнобедренный. Сумма углов в треугольнике OBC равна \( 180^{\circ} \).

\[ \angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 130^{\circ}}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ} \].

Рассмотрим треугольник АВC. По условию \( \angle AB : \angle BC = 11 : 12 \). Это означает, что отношение хорд AB и BC равно 11:12. Однако, здесь речь идет об углах, а не о хордах. Предположим, что отношение длины хорды AB к длине хорды BC равно 11:12. Но такой информации недостаточно для решения.

Вернемся к условию. Если \( \angle AB : \angle BC = 11:12 \) относится к дугам AB и BC, то:

Пусть дуга AB = \( 11x \) и дуга BC = \( 12x \).

Мы знаем, что дуга BC = \( 130^{\circ} \).

\[ 12x = 130^{\circ} \]

\[ x = \frac{130^{\circ}}{12} = \frac{65^{\circ}}{6} \].

Дуга AB = \( 11x = 11 \cdot \frac{65^{\circ}}{6} = \frac{715^{\circ}}{6} \).

Полная окружность равна \( 360^{\circ} \).

Дуга АС = \( 360^{\circ} - \text{дуга AB} - \text{дуга BC} = 360^{\circ} - \frac{715^{\circ}}{6} - 130^{\circ} = 230^{\circ} - \frac{715^{\circ}}{6} = \frac{1380^{\circ} - 715^{\circ}}{6} = \frac{665^{\circ}}{6} \).

\( \angle BCA \) — вписанный угол, опирающийся на дугу AB.

\[ \angle BCA = \frac{1}{2} \text{дуга AB} = \frac{1}{2} \cdot \frac{715^{\circ}}{6} = \frac{715^{\circ}}{12} \approx 59.58^{\circ} \].

\( \angle BAC \) — вписанный угол, опирающийся на дугу BC.

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуга BC} = \frac{1}{2} \cdot 130^{\circ} = 65^{\circ} \].

Если под \( \angle AB : \angle BC = 11:12 \) имелись в виду отношения углов, то это некорректно, так как углы \( \angle AB \) и \( \angle BC \) не определены. Принимая, что это отношение дуг AB и BC:

Ответ: \( \angle BAC = 65^{\circ} \), \( \angle BCA = \frac{715^{\circ}}{12} \).