№ 2. Рисунок 1. Дано: "АВ: “BC = 11 : 12. Найдите — BCA, L BAC.

Решение:

На рисунке изображена окружность с вписанным треугольником ABC. Угол \( \angle BOC \) является центральным углом, опирающимся на дугу BC. Угол \( \angle BAC \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу.

Следовательно, \( \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC \).

Угол \( \angle BOC \) и угол \( \angle COA \) являются смежными, их сумма равна \( 180^{\circ} \).

Угол \( \angle COA \) равен \( 130^{\circ} \) (по рисунку).

Тогда \( \angle BOC = 180^{\circ} - \angle COA = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

Теперь найдём \( \angle BAC \):

\[ \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 50^{\circ} = 25^{\circ} \]

Угол \( \angle ABC \) и угол \( \angle AOC \) являются вписанным и центральным углами, опирающимися на дугу АС. Центральный угол \( \angle AOC = 130^{\circ} \). Следовательно, вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен половине центрального.

По рисунку, \( \angle AOC = 130^{\circ} \). Угол \( \angle ABC \) опирается на дугу АС. Значит, \( \angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC = \frac{1}{2} \cdot 130^{\circ} = 65^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \). В треугольнике ABC:

\[ \angle BCA + \angle BAC + \angle ABC = 180^{\circ} \]

\[ \angle BCA + 25^{\circ} + 65^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle BCA + 90^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle BCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \]

Примечание: условие "АВ: "BC = 11 : 12" не использовано, так как задача решается по рисунку. Возможно, условие является избыточным или относится к другому заданию.

Ответ: \( \angle BCA = 90^{\circ} \), \( \angle BAC = 25^{\circ} \).