2. Значение какого из выражений является числом рациональным?

Решение:

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где \( m \) — целое число, а \( n \) — натуральное число. Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. К иррациональным числам относятся, например, \( \sqrt{2} \), \( \pi \).

Рассмотрим каждое выражение:

1. \( (\sqrt{3} - 2)^2 = (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 + 2^2 = 3 - 4\sqrt{3} + 4 = 7 - 4\sqrt{3} \). Это иррациональное число, так как содержит \( \sqrt{3} \).
2. \( \frac{(\sqrt{5})^2}{\sqrt{7}} = \frac{5}{\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{7} \). Это иррациональное число, так как содержит \( \sqrt{7} \).
3. \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2} \). Это иррациональное число, так как содержит \( \sqrt{2} \).
4. \( (\sqrt{8} - 3) \cdot (\sqrt{8} + 3) \). Используем формулу разности квадратов: \( (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \). \( (\sqrt{8})^2 - 3^2 = 8 - 9 = -1 \). Это целое число, которое является рациональным.

Ответ: 4) \( (\sqrt{8} - 3) \cdot (\sqrt{8} + 3) \)