28. Напишите программу, которая вычисляет сумму: а) первых n натуральных чисел; б) квадратов первых n натуральных чисел; в) всех чётных чисел в диапазоне от 1 до n; г) всех двузначных чисел.

Решение:

Для решения этой задачи напишем программу, которая будет вычислять суммы по разным условиям.

а) Сумма первых n натуральных чисел:

Формула для суммы первых n натуральных чисел: \( S_n = \frac{n(n+1)}{2} \)

def sum_first_n_natural(n):
    return n * (n + 1) // 2

б) Сумма квадратов первых n натуральных чисел:

Формула для суммы квадратов первых n натуральных чисел: \( S_{n^2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)

def sum_first_n_squares(n):
    return n * (n + 1) * (2 * n + 1) // 6

в) Сумма всех чётных чисел в диапазоне от 1 до n:

Чётные числа в диапазоне от 1 до n — это 2, 4, 6, ..., до последнего чётного числа, не превышающего n. Количество таких чисел будет \( k = \lfloor \frac{n}{2} \rfloor \). Сумма будет равна \( S_{even} = 2 + 4 + ... + 2k = 2(1 + 2 + ... + k) = 2 \cdot \frac{k(k+1)}{2} = k(k+1) \).

def sum_even_numbers(n):
    k = n // 2
    return k * (k + 1)

г) Сумма всех двузначных чисел:

Двузначные числа — это числа от 10 до 99. Количество таких чисел равно \( 99 - 10 + 1 = 90 \). Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 10 \), последним членом \( a_{90} = 99 \) и количеством членов \( N = 90 \). Сумма равна \( S_{10-99} = \frac{(a_1 + a_N) \cdot N}{2} = \frac{(10 + 99) \cdot 90}{2} = \frac{109 \cdot 90}{2} = 109 \cdot 45 \).

def sum_two_digit_numbers():
    return 109 * 45

Ответ: Приведены программы для вычисления сумм согласно условиям задания.