3. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечены точки А, В и С. Найдите сумму углов АВС и САВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Найдём координаты точек на клетчатой бумаге:

• Пусть точка А имеет координаты (0, 1).
• Точка В имеет координаты (3, 0).
• Точка С имеет координаты (1, 0).

Найдем векторы сторон:

• \( \vec{BA} = (0-3, 1-0) = (-3, 1) \)
• \( \vec{BC} = (1-3, 0-0) = (-2, 0) \)
• \( \vec{AB} = (3-0, 0-1) = (3, -1) \)
• \( \vec{AC} = (1-0, 0-1) = (1, -1) \)

Найдем косинусы углов:

• \( \cos(\angle ABC) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|} = \frac{(-3)(-2) + (1)(0)}{\sqrt{(-3)^2+1^2} \sqrt{(-2)^2+0^2}} = \frac{6}{\sqrt{10} \cdot 2} = \frac{3}{\sqrt{10}} \)
• \( \cos(\angle CAB) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{(3)(1) + (-1)(-1)}{\sqrt{3^2+(-1)^2} \sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{3+1}{\sqrt{10} \sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{20}} = \frac{4}{2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

Найдем углы:

• \( \angle ABC = \arccos\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right) \approx 18.43^{\circ} \)
• \( \angle CAB = \arccos\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \approx 26.57^{\circ} \)

Найдем сумму углов:

• \( \angle ABC + \angle CAB \approx 18.43^{\circ} + 26.57^{\circ} = 45^{\circ} \)

Ответ: 45