3. Точка М делит отрезок РК в отношении 3:1, считая от точки Р. Найдите координаты точек М и К: М (2; -4), К (3; 5).

Решение:

Формула для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении \( m:n \) (где \( m=3 \), \( n=1 \) и отношение считается от точки P):

\( x_M = \frac{nx_P + mx_K}{m+n} \)

\( y_M = \frac{ny_P + my_K}{m+n} \)

В данном случае, отношение 3:1 считается от точки P, значит, точка M делит отрезок PK. Однако, в условии даны координаты M и K, и сказано, что M делит PK. Предполагается, что нужно найти координаты точки P.

Пусть координаты точки P будут \( (x_P; y_P) \). Из условия: \( M(2; -4) \), \( K(3; 5) \), отношение \( PM:MK = 3:1 \).

1. Найдём координату \( x_P \): \( 2 = \frac{1 · x_P + 3 · 3}{3+1} \) \( \Rightarrow 2 = \frac{x_P + 9}{4} \) \( \Rightarrow 8 = x_P + 9 \) \( \Rightarrow x_P = -1 \).
2. Найдём координату \( y_P \): \( -4 = \frac{1 · y_P + 3 · 5}{3+1} \) \( \Rightarrow -4 = \frac{y_P + 15}{4} \) \( \Rightarrow -16 = y_P + 15 \) \( \Rightarrow y_P = -31 \).

Ответ: Координаты точки P равны (-1; -31).