3. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК, которая делит сторону ВС на отрезки равные 7см и 3 см. Найдите периметр параллелограмма ABCD.

Решение:

В параллелограмме ABCD проведена биссектриса АК. Биссектриса делит сторону ВС на отрезки. Рассмотрим два случая расположения точек на стороне ВС.

Случай 1: Точка К лежит на стороне ВС так, что ВК = 7 см, КС = 3 см.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны, значит, AD = BC = BK + KC = 7 + 3 = 10 см.
2. Так как АК — биссектриса угла А, то \( \angle BAK = \angle KAD \).
3. Так как ABCD — параллелограмм, то ВС || AD, а значит, \( \angle KAD = \angle AKB \) как накрест лежащие углы.
4. Из равенства \( \angle BAK = \angle KAD \) и \( \angle KAD = \angle AKB \) следует, что \( \angle BAK = \angle AKB \).
5. Треугольник ABK является равнобедренным, так как углы при основании АК равны. Следовательно, AB = BK = 7 см.
6. Периметр параллелограмма ABCD вычисляется по формуле: \( P = 2(AB + BC) \).
7. Подставляем значения: \( P = 2(7 + 10) = 2 \cdot 17 = 34 \) см.

Случай 2: Точка К лежит на стороне ВС так, что ВК = 3 см, КС = 7 см.

1. AD = BC = BK + KC = 3 + 7 = 10 см.
2. Аналогично первому случаю, \( \angle BAK = \angle AKB \), поэтому треугольник ABK равнобедренный.
3. AB = BK = 3 см.
4. Периметр параллелограмма ABCD: \( P = 2(AB + BC) \).
5. Подставляем значения: \( P = 2(3 + 10) = 2 \cdot 13 = 26 \) см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 34 см или 26 см.