3. В прямоугольной трапеции АВСД боковая сторона равна АВ=10 см, большее основание АД= 18 см, ∠А =45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. В прямоугольной трапеции ABCD, AB — высота. По условию, \( AB = 10 \) см.
2. Угол \( \angle A = 45^{\circ} \).
3. Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Треугольник ABH является прямоугольным, и \( \angle BAH = 45^{\circ} \).
4. Так как \( \angle BAH = 45^{\circ} \) и \( \angle AHB = 90^{\circ} \), то \( \angle ABH = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).
5. Следовательно, треугольник ABH — равнобедренный, и \( AH = BH \).
6. Так как AB — высота, то \( BH = AB = 10 \) см.
7. Значит, \( AH = 10 \) см.
8. AD — большее основание, \( AD = 18 \) см.
9. BC — меньшее основание. В прямоугольной трапеции ABCD, \( BC = HD \).
10. \( HD = AD - AH = 18 \text{ см} - 10 \text{ см} = 8 \) см.
11. Значит, \( BC = 8 \) см.
12. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \times (a + b) \times h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.
13. \( S = \frac{1}{2} \times (AD + BC) \times AB \)
14. \( S = \frac{1}{2} \times (18 \text{ см} + 8 \text{ см}) \times 10 \text{ см} \)
15. \( S = \frac{1}{2} \times 26 \text{ см} \times 10 \text{ см} \)
16. \( S = 13 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 130 \) см².

Ответ: 130 см².