4. Даны координаты трёх вершин прямоугольника ABCD: A (-1; −1), B (-1; 3) и D (5; −1). 1) Начертите прямоугольник ABCD. 2) Найдите координаты вершины С. 3) Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника. 4) Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

4. Решение:

1) Построение прямоугольника ABCD:

Начертим систему координат. Отметим точки A (-1; -1), B (-1; 3), D (5; -1). Соединим точки AB и AD. Так как ABCD — прямоугольник, стороны AB и AD перпендикулярны.

2) Нахождение координат вершины C:

В прямоугольнике противоположные стороны параллельны и равны. Поэтому вектор \( \vec{AB} = \vec{DC} \).

\( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (-1 - (-1); 3 - (-1)) = (0; 4) \)

Пусть координаты точки C равны \( (x_C; y_C) \).

\( \vec{DC} = (x_C - x_D; y_C - y_D) = (x_C - 5; y_C - (-1)) = (x_C - 5; y_C + 1) \)

Приравнивая векторы, получаем:

\( x_C - 5 = 0 \Rightarrow x_C = 5 \)

\( y_C + 1 = 4 \Rightarrow y_C = 3 \)

Таким образом, координаты вершины C — (5; 3).

3) Нахождение координат точки пересечения диагоналей:

Диагонали прямоугольника пересекаются в точке, которая делит каждую диагональ пополам. Найдем середину диагонали AC (или BD).

Середина AC: \( M = \left(\frac{x_A+x_C}{2}; \frac{y_A+y_C}{2}\right) = \left(\frac{-1+5}{2}; \frac{-1+3}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{2}{2}\right) = (2; 1) \)

Середина BD: \( M = \left(\frac{x_B+x_D}{2}; \frac{y_B+y_D}{2}\right) = \left(\frac{-1+5}{2}; \frac{3+(-1)}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}; \frac{2}{2}\right) = (2; 1) \)

Точка пересечения диагоналей — (2; 1).

4) Вычисление площади и периметра прямоугольника:

Длина стороны AB: \( |AB| = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (3 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 4^2} = \sqrt{16} = 4 \) см.

Длина стороны AD: \( |AD| = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 \) см.

Площадь прямоугольника: \( S = |AB| \cdot |AD| = 4 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 24 \text{ см}^2 \)

Периметр прямоугольника: \( P = 2(|AB| + |AD|) = 2(4 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2(10 \text{ см}) = 20 \text{ см} \)

Ответ: 2) Координаты вершины C — (5; 3). 3) Координаты точки пересечения диагоналей — (2; 1). 4) Площадь — 24 см², периметр — 20 см.