4. Хорды AB и CD пересекаются в точке E. Найдите CD, если AE=4 см, BE=9 см, а длина СЕ в четыре раза больше длины DE.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков каждой хорды равно:

\( AE \cdot BE = CE \cdot DE \)

Нам дано:

• \( AE = 4 \text{ см} \)
• \( BE = 9 \text{ см} \)
• \( CE = 4 \cdot DE \)

Подставим известные значения в формулу:

\( 4 \cdot 9 = (4 \cdot DE) \cdot DE \)

\( 36 = 4 \cdot DE^2 \)

Разделим обе части уравнения на 4:

\( DE^2 = \frac{36}{4} \)

\( DE^2 = 9 \)

Извлечём квадратный корень:

\( DE = \sqrt{9} \) (так как длина не может быть отрицательной)

\( DE = 3 \text{ см} \)

Теперь найдём длину \( CE \):

\( CE = 4 \cdot DE = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} \)

Длина хорды \( CD \) равна сумме длин отрезков \( CE \) и \( DE \):

\( CD = CE + DE = 12 + 3 = 15 \text{ см} \)

Ответ: 15 см.