4. \( \int_{0}^{1} 3x^{-1} dx \)

Решение:

Данный интеграл является несобственным, так как при \( x=0 \) функция \( 3x^{-1} = \frac{3}{x} \) имеет разрыв.

1. Перепишем интеграл как предел: \( \lim_{a \to 0^+} \int_{a}^{1} 3x^{-1} dx \)
2. Проинтегрируем \( 3x^{-1} \): \( 3 \int x^{-1} dx = 3\ln|x| \).
3. Подставим пределы интегрирования: \( \lim_{a \to 0^+} \left[ 3\ln|x| \right]_{a}^{1} = \lim_{a \to 0^+} (3\ln|1| - 3\ln|a|) \)
4. Вычислим: \( \lim_{a \to 0^+} (3 \cdot 0 - 3\ln|a|) = \lim_{a \to 0^+} (-3\ln|a|) \)
5. Так как \( \lim_{a \to 0^+} \ln|a| = -\infty \), то \( \lim_{a \to 0^+} (-3\ln|a|) = -3(-\infty) = +\infty \).

Ответ: Интеграл расходится (равен \( \infty \)).