№ 4. Окружность с центром в точке О радиусом 16 см описана около треугольника АВС так, что \( \angle OAB=30^{\circ} \), \( \angle OCB=45^{\circ} \). Найдите стороны АВ и ВС треугольника.

Решение:

Так как окружность описана около треугольника АВС, то точки А, В, С лежат на окружности. О — центр окружности, \( OA = OB = OC = R = 16 \) см (радиусы).

Рассмотрим треугольник АОВ. Он равнобедренный, так как \( OA = OB \). Углы при основании равны:

\[ \angle OBA = \angle OAB = 30^{\circ} \].

Сумма углов в треугольнике АОВ равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle AOB = 180^{\circ} - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ} \].

Для нахождения стороны АВ используем теорему косинусов в треугольнике АОВ:

\[ AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB) \]

\[ AB^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(120^{\circ}) \]

\[ AB^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot (-\frac{1}{2}) \]

\[ AB^2 = 512 + 256 = 768 \]

\[ AB = \sqrt{768} = \sqrt{256 \cdot 3} = 16\sqrt{3} \) см.

Рассмотрим треугольник СОВ. Он равнобедренный, так как \( OC = OB \). Углы при основании равны:

\[ \angle OBC = \angle OCB = 45^{\circ} \].

Сумма углов в треугольнике СОВ равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle COB = 180^{\circ} - (\angle OCB + \angle OBC) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \].

Для нахождения стороны ВС используем теорему косинусов в треугольнике СОВ:

\[ BC^2 = OC^2 + OB^2 - 2 \cdot OC \cdot OB \cdot \cos(\angle COB) \]

\[ BC^2 = 16^2 + 16^2 - 2 \cdot 16 \cdot 16 \cdot \cos(90^{\circ}) \]

\[ BC^2 = 256 + 256 - 2 \cdot 256 \cdot 0 \]

\[ BC^2 = 512 \]

\[ BC = \(\sqrt{512}\) = \(\sqrt{256 \cdot 2}\) = 16\(\sqrt{2}\) \) см.

Ответ: АВ = \( 16\sqrt{3} \) см, ВС = \( 16\sqrt{2} \) см.