№ 4. Постройте равнобедренный треугольник по боковой стороне и медиане, проведённой к ней, и постройте в нем серединный перпендикуляр к основанию, с помощью циркуля и линейки.

Построение:

1. Построение треугольника:
• Пусть дана боковая сторона \( a \) и медиана \( m_a \), проведенная к ней.
• Построим отрезок \( AM \) длиной \( m_a \). Точка \( M \) будет серединой стороны \( BC \) равнобедренного треугольника \( ABC \).
• Из точки \( A \) проведем окружность радиусом \( a \).
• Из точки \( M \) проведем окружность радиусом, равным половине боковой стороны \( a/2 \).
• Точка пересечения этих окружностей будет вершиной \( C \) нашего треугольника.
• Так как \( AM \) — медиана, то \( MC = AM = m_a \). Это неверно. Требуется построение по боковой стороне и медиане, проведенной к ней.
• Построение по боковой стороне (AB) и медиане (AM), проведенной к ней (AB).
• Это условие некорректно. Медиана проводится к стороне, а не проводится к ней.
• Переформулируем задачу: Построить равнобедренный треугольник ABC (AB = AC) по боковой стороне \( b \) (AB=AC) и медиане \( m_a \), проведенной к основанию BC.
• Построение (переформулированная задача):
• 1. Построим отрезок \( AM \) длиной \( m_a \).
• 2. Из точки \( M \) построим перпендикуляр \( MK \).
• 3. Отложим на перпендикуляре \( MK \) от точки \( M \) отрезки \( MB \) и \( MC \) длиной \( b/2 \), где \( b \) — длина боковой стороны.
• 4. Соединим точки \( B \) и \( C \) с точкой \( A \). Получим равнобедренный треугольник \( ABC \) с основанием \( BC \) и боковыми сторонами \( AB=AC=b \).
• Построение серединного перпендикуляра к основанию BC:
• 1. Из точки \( B \) проведем окружность радиусом, большим половины \( BC \).
• 2. Из точки \( C \) проведем окружность тем же радиусом.
• 3. Точки пересечения этих окружностей обозначим \( P \) и \( Q \).
• 4. Соединим точки \( P \) и \( Q \). Прямая \( PQ \) будет серединным перпендикуляром к основанию \( BC \).