43. Решите систему уравнений $$ \begin{cases} 3x + 4y - 11 = 0 \\ 5x - 2y - 14 = 0 \end{cases} $$

Решение:

Решим систему методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными:

$$ 2 \cdot (5x - 2y - 14) = 2 \cdot 0 $$

$$ 10x - 4y - 28 = 0 $$

Теперь сложим первое уравнение с этим измененным вторым уравнением:

$$ (3x + 4y - 11) + (10x - 4y - 28) = 0 + 0 $$

$$ 3x + 10x + 4y - 4y - 11 - 28 = 0 $$

$$ 13x - 39 = 0 $$

$$ 13x = 39 $$

$$ x = 3 $$

Теперь найдем y, подставив значение x в любое из исходных уравнений. Возьмем второе:

$$ 5(3) - 2y - 14 = 0 $$

$$ 15 - 2y - 14 = 0 $$

$$ 1 - 2y = 0 $$

$$ 1 = 2y $$

$$ y = \frac{1}{2} $$

Проверка:

Первое уравнение: $$ 3(3) + 4(\frac{1}{2}) - 11 = 9 + 2 - 11 = 11 - 11 = 0 $$

Второе уравнение: $$ 5(3) - 2(\frac{1}{2}) - 14 = 15 - 1 - 14 = 14 - 14 = 0 $$

Ответ: (3; 0,5)