5. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство: (a–x)(a + x)–b(b+2x)–(a–b–x)(a + b + x) = 0.

Решение:

Раскроем скобки и упростим выражение:

1. Первое слагаемое — разность квадратов:
   \( (a-x)(a + x) = a^2 - x^2 \)
2. Второе слагаемое:
   \( b(b+2x) = b^2 + 2bx \)
3. Третье слагаемое:
   \( (a-b-x)(a + b + x) \).
   Сгруппируем члены: \( (a - (b+x))(a + (b+x)) = a^2 - (b+x)^2 \)
   \( = a^2 - (b^2 + 2bx + x^2) = a^2 - b^2 - 2bx - x^2 \)
4. Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:
   \( (a^2 - x^2) - (b^2 + 2bx) - (a^2 - b^2 - 2bx - x^2) \)
5. Раскроем последние скобки, меняя знаки:
   \( a^2 - x^2 - b^2 - 2bx - a^2 + b^2 + 2bx + x^2 \)
6. Сгруппируем и приведём подобные слагаемые:
   (\( a^2 - a^2 \) ) + (\( -x^2 + x^2 \) ) + (\( -b^2 + b^2 \) ) + (\( -2bx + 2bx \) ) = \( 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \)

Доказано.