5. Какой кинетической энергией обладало тело массой m = 0,5 кг у основания наклонной плоскости, если оно, двигаясь по плоскости, поднялось на максимальную высоту Hmax = / м? Сила трения между телом и плоскостью постоянна на всём пути Frp = H. Угол наклона плоскости к горизонту а = 45°.

Это задача на применение закона сохранения энергии с учетом работы силы трения.

Дано:

• $$m = 0,5$$ кг
• $$H_{max} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ м
• $$F_{тр} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Н
• $$a = 45^{\circ}$$

Найти:

• $$E_k$$ (начальная кинетическая энергия)

Решение:

1. Начальное состояние: Тело находится у основания наклонной плоскости, обладает кинетической энергией $$E_k$$ и нулевой потенциальной энергией ($$E_{p.нач} = 0$$).
2. Конечное состояние: Тело поднялось на максимальную высоту $$H_{max}$$. В этот момент его скорость равна нулю, поэтому кинетическая энергия равна нулю ($$E_{k.кон} = 0$$). Потенциальная энергия равна $$E_{p.кон} = mgh_{max}$$.
3. Работа силы трения: Сила трения $$F_{тр}$$ направлена против движения. Путь $$L$$, пройденный телом по наклонной плоскости до достижения максимальной высоты, равен:

   $$L = \frac{H_{max}}{\sin a} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$$ м

   Работа силы трения $$A_{тр}$$ отрицательна, так как сила направлена против перемещения:

   $$A_{тр} = -F_{тр} \cdot L = -\frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Н} \times 1 \text{ м} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ Дж

   4. Применим закон сохранения энергии:

   Изменение кинетической энергии равно сумме работ всех сил.

   $$E_{k.кон} - E_{k.нач} = A_{грав} + A_{тр}$$

   Где $$A_{грав}$$ — работа силы тяжести. Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии с противоположным знаком: $$A_{грав} = -(E_{p.кон} - E_{p.нач}) = -E_{p.кон}$$ (так как $$E_{p.нач} = 0$$).

   $$0 - E_{k.нач} = -mgh_{max} - F_{тр}L$$

   $$E_{k.нач} = mgh_{max} + F_{тр}L$$

   Подставим значения:

   $$E_{k.нач} = 0,5 \text{ кг} \times 9,8 \text{ м/с}^2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ м} + \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ Н} \times 1 \text{ м}$$

   $$E_{k.нач} = 0,5 \times 9,8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 4,9 \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = (4,9 + 1) \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 5,9 \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$

   $$E_{k.нач} \approx 5,9 \times \frac{1,414}{2} \approx 5,9 \times 0,707 \approx 4,17$$ Дж

   Ответ: 4,17 Дж