5. В прямоугольном треугольнике ABC ∠C=90°, АС=8 см, ∠B =45°. Найдите: а)АВ; б) высоту CD, проведенную к гипотенузе.

Решение:

а) Найдём гипотенузу AB:

Так как \( \angle C = 90^{\circ} \) и \( \angle B = 45^{\circ} \), то \( \angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \).

Треугольник ABC — прямоугольный и равнобедренный (так как \( \angle A = \angle B \)). Следовательно, \( AC = BC = 8 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 8^2 + 8^2 \]

\[ AB^2 = 64 + 64 = 128 \]

\[ AB = \sqrt{128} = \sqrt{64 \times 2} = 8\sqrt{2} \text{ см} \]

б) Найдём высоту CD, проведенную к гипотенузе:

Площадь прямоугольного треугольника ABC можно вычислить двумя способами:

1. \( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 32 \text{ см}^2 \)
2. \( S = \frac{1}{2} \times AB \times CD \)

Приравниваем оба выражения для площади:

\[ \frac{1}{2} \times AB \times CD = 32 \text{ см}^2 \]

\[ \frac{1}{2} \times 8\sqrt{2} \text{ см} \times CD = 32 \text{ см}^2 \]

\[ 4\sqrt{2} \text{ см} \times CD = 32 \text{ см}^2 \]

\[ CD = \frac{32 \text{ см}^2}{4\sqrt{2} \text{ см}} = \frac{8}{\sqrt{2}} \text{ см} = \frac{8\sqrt{2}}{2} \text{ см} = 4\sqrt{2} \text{ см} \]

Ответ: а) \( 8\sqrt{2} \) см; б) \( 4\sqrt{2} \) см.