6. \( \int_{-2}^{1} (6x^3 - 3x^2 + 2x - 5) dx \)

Решение:

1. Проинтегрируем каждый член многочлена, используя правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \): \( \int (6x^3 - 3x^2 + 2x - 5) dx = 6 \frac{x^{3+1}}{3+1} - 3 \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - 5x \)
2. Упростим: \( 6 \frac{x^4}{4} - 3 \frac{x^3}{3} + 2 \frac{x^2}{2} - 5x = \frac{3}{2}x^4 - x^3 + x^2 - 5x \)
3. Теперь вычислим определённый интеграл, подставив пределы от -2 до 1: \( \left[ \frac{3}{2}x^4 - x^3 + x^2 - 5x \right]_{-2}^{1} \)
4. Подставим верхний предел (1): \( \frac{3}{2}(1)^4 - (1)^3 + (1)^2 - 5(1) = \frac{3}{2} - 1 + 1 - 5 = \frac{3}{2} - 5 = \frac{3 - 10}{2} = -\frac{7}{2} \)
5. Подставим нижний предел (-2): \( \frac{3}{2}(-2)^4 - (-2)^3 + (-2)^2 - 5(-2) = \frac{3}{2}(16) - (-8) + 4 + 10 = 3 \cdot 8 + 8 + 4 + 10 = 24 + 8 + 4 + 10 = 46 \)
6. Вычтем значение нижнего предела из значения верхнего предела: \( -\frac{7}{2} - 46 = -\frac{7}{2} - \frac{92}{2} = -\frac{99}{2} \)

Ответ: \( -\frac{99}{2} \)