6. Из точки А к окружности с центром О проведены касательные AM и AK (M и K — точки касания). Найдите \(\angle MAK\), если \(\angle OMK = 24°.\)

Решение:

Рассмотрим треугольник \(\triangle OMK\). \(OM\) и \(OK\) — радиусы окружности, поэтому \(OM = OK\). Треугольник \(\triangle OMK\) — равнобедренный.

\(OM\) — радиус, проведённый к точке касания \(M\), значит, \(OM \perp AM\). Следовательно, \(\angle OMA = 90°\).

В равнобедренном треугольнике \(\triangle OMK\) углы при основании \(OK\) и \(OM\) равны, значит, \(\angle OKM = \angle OMK = 24°\).

Сумма углов в треугольнике \(\triangle OMK\) равна \(180°\). Найдём \(\angle MOK\):

\(\angle MOK = 180° - (\angle OMK + \angle OKM) = 180° - (24° + 24°) = 180° - 48° = 132°\)

Теперь рассмотрим треугольник \(\triangle OAK\). \(OK\) — радиус, проведённый к точке касания \(K\), значит, \(OK \perp AK\). Следовательно, \(\angle AKA = 90°\).

Рассмотрим \(\triangle OMA\) и \(\triangle OKA\). У них:

• \(OA\) — общая гипотенуза.
• \(OM = OK\) (радиусы).
• \(\angle OMA = \angle AKA = 90°\) (радиус перпендикулярен касательной).

По гипотенузе и катету (II признак равенства прямоугольных треугольников), \(\triangle OMA = \triangle OKA\).

Из равенства треугольников следует, что \(\angle MOA = \angle KOA\) и \(\angle MAK = \angle MAO\).

\(\angle MAK = \angle MAO = \angle OAK\).

\(\angle MOK = \angle MOA + \angle KOA = 2 \cdot \angle KOA = 132°\)

\(\angle KOA = 132° / 2 = 66°\)

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle OKA\). Сумма углов в нём равна \(180°\):

\(\angle OAK + \angle AKA + \angle KOA = 180°\)

\(\angle OAK + 90° + 66° = 180°\)

\(\angle OAK = 180° - 90° - 66° = 24°\)

Так как \(\angle MAK = \angle OAK\), то \(\angle MAK = 24°\).

Ответ: \(\angle MAK = 24°\).