7. \( \int_{-1}^{1} (\frac{2}{x^2} + 3\sqrt{x} - \frac{1}{x}) dx \)

Решение:

Данный интеграл является несобственным, так как функции \( \frac{2}{x^2} \) и \( \frac{1}{x} \) имеют разрывы в точках \( x=0 \).

Разделим интеграл на два:

1. Интеграл \( \int_{-1}^{1} \frac{2}{x^2} dx \): \( \int_{-1}^{1} 2x^{-2} dx = \left[ 2\frac{x^{-1}}{-1} \right]_{-1}^{1} = \left[ -\frac{2}{x} \right]_{-1}^{1} = (-\frac{2}{1}) - (-\frac{2}{-1}) = -2 - 2 = -4 \)
2. Интеграл \( \int_{-1}^{1} (3\sqrt{x} - \frac{1}{x}) dx \) является несобственным и расходится, так как \( \sqrt{x} \) не определено для отрицательных \( x \) в действительных числах, а \( \frac{1}{x} \) имеет разрыв в \( x=0 \).

Поскольку одна из частей интеграла расходится, весь интеграл расходится.

Ответ: Интеграл расходится.