7. Найдите корень уравнения √-10-7x = -x. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

Решение:

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\[ (\sqrt{-10-7x})^2 = (-x)^2 \]

\[ -10 - 7x = x^2 \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 + 7x + 10 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9 \).

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

\[ x_2 = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 3}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]

Теперь проверим полученные корни в исходном уравнении \( \sqrt{-10-7x} = -x \).

Проверка для \( x = -2 \):

\[ \sqrt{-10 - 7(-2)} = \sqrt{-10 + 14} = \sqrt{4} = 2 \]

\( -x = -(-2) = 2 \).

\( 2 = 2 \). Корень \( x = -2 \) подходит.

Проверка для \( x = -5 \):

\[ \sqrt{-10 - 7(-5)} = \sqrt{-10 + 35} = \sqrt{25} = 5 \]

\( -x = -(-5) = 5 \).

\( 5 = 5 \). Корень \( x = -5 \) подходит.

Уравнение имеет два корня: -2 и -5. Меньший из них — -5.

Ответ: -5