7. В окружности с центром О угол между диаметром MN и хордой NK равен 67°. Найдите углы KMN и МОК.

Задание 7. Углы в окружности

1. Угол KMN:

Диаметр MN делит окружность на две полу окружности. Угол \( ∠ MNK \) является вписанным и опирается на диаметр, значит, он прямой \( ∠ MNK = 90^\circ \).

В треугольнике \( ∠ MNK \):

\( ∠ KMN + ∠ MNK + ∠ NKM = 180^\circ \)

\( ∠ KMN + 90^\circ + 67^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ KMN = 180^\circ - 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ \)

2. Угол МОК:

Угол \( ∠ MNK = 90^\circ \) — вписанный. Угол \( ∠ MOK \) — центральный, опирается на ту же дугу \( MK \).

Сначала найдем вписанный угол \( ∠ MNK \). Он опирается на дугу \( MK \).

\( ∠ MNK = 23^\circ \).

Тогда величина дуги \( MK = 2 \times ∠ MNK = 2 \times 23^\circ = 46^\circ \).

Центральный угол \( ∠ MOK \) равен величине дуги, на которую он опирается.

\( ∠ MOK = \text{величина дуги } MK = 46^\circ \).

Ответ: Угол KMN равен 23°, угол МОК равен 46°.