795. Докажите тождество: a) (y⁴ + y³)(y² - y) = y⁴(y + 1)(y - 1); 6) (a² + 3a)(a² + 3a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3); в) (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = a⁴ + a²b² + b⁴; г) (c⁴ - c² + 1)(c⁴ + c² + 1) = c⁸ + c⁴ + 1.

Решение:

a) Левая часть:

\[ (y^4 + y^3)(y^2 - y) = y^3(y + 1) · y(y - 1) = y^4(y + 1)(y - 1) \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

б) Левая часть:

\[ (a^2 + 3a)(a^2 + 3a + 2) = a(a + 3) · (a + 1)(a + 2) \]

Перегруппируем множители:

\[ a(a + 1)(a + 2)(a + 3) \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

в) Левая часть:

\[ (a^2 + ab + b^2)(a^2 - ab + b^2) = ((a^2 + b^2) + ab)((a^2 + b^2) - ab) \]

Используем формулу разности квадратов \( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \), где \( x = a^2 + b^2 \) и \( y = ab \).

\[ (a^2 + b^2)^2 - (ab)^2 = (a^4 + 2a^2b^2 + b^4) - a^2b^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4 \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

г) Левая часть:

\[ (c^4 - c^2 + 1)(c^4 + c^2 + 1) = ((c^4 + 1) - c^2)((c^4 + 1) + c^2) \]

Используем формулу разности квадратов \( (x-y)(x+y) = x^2 - y^2 \), где \( x = c^4 + 1 \) и \( y = c^2 \).

\[ (c^4 + 1)^2 - (c^2)^2 = (c^8 + 2c^4 + 1) - c^4 = c^8 + c^4 + 1 \]

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: Тождества доказаны.