4 a) $$\begin{cases} x^2 - 2y = 3, \\ x^2y = 27; \\ \end{cases}$$ б) $$\begin{cases} x^2 + y = 10, \\ x^4 + x^2y = 90; \\ \end{cases}$$ в) $$\begin{cases} x + y^2 = 2, \\ 2y^2 + x^2 = 3; \\ \end{cases}$$ г) $$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2. \\ \end{cases}$$

Решим каждую систему уравнений по порядку: а) $$\begin{cases} x^2 - 2y = 3 \\ x^2y = 27 \end{cases}$$ Выразим $$x^2$$ из первого уравнения: $$x^2 = 3 + 2y$$. Подставим это во второе уравнение: $$(3 + 2y)y = 27$$ $$3y + 2y^2 = 27$$ $$2y^2 + 3y - 27 = 0$$ Решим квадратное уравнение относительно $$y$$. Дискриминант $$D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 9 + 216 = 225$$. Тогда $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 + 15}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{225}}{4} = \frac{-3 - 15}{4} = \frac{-18}{4} = -\frac{9}{2}$$ Теперь найдем соответствующие значения $$x^2$$: Если $$y = 3$$, то $$x^2 = 3 + 2(3) = 3 + 6 = 9$$, значит $$x = \pm 3$$. Если $$y = -\frac{9}{2}$$, то $$x^2 = 3 + 2(-\frac{9}{2}) = 3 - 9 = -6$$, что невозможно, так как $$x^2$$ не может быть отрицательным. Итого, решения системы: $$(3, 3)$$ и $$(-3, 3)$$. б) $$\begin{cases} x^2 + y = 10 \\ x^4 + x^2y = 90 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$y$$: $$y = 10 - x^2$$. Подставим это во второе уравнение: $$x^4 + x^2(10 - x^2) = 90$$ $$x^4 + 10x^2 - x^4 = 90$$ $$10x^2 = 90$$ $$x^2 = 9$$ $$x = \pm 3$$ Теперь найдем $$y$$: Если $$x = 3$$, то $$y = 10 - (3)^2 = 10 - 9 = 1$$. Если $$x = -3$$, то $$y = 10 - (-3)^2 = 10 - 9 = 1$$. Итого, решения системы: $$(3, 1)$$ и $$(-3, 1)$$. в) $$\begin{cases} x + y^2 = 2 \\ 2y^2 + x^2 = 3 \end{cases}$$ Из первого уравнения выразим $$x$$: $$x = 2 - y^2$$. Подставим это во второе уравнение: $$2y^2 + (2 - y^2)^2 = 3$$ $$2y^2 + 4 - 4y^2 + y^4 = 3$$ $$y^4 - 2y^2 + 1 = 0$$ $$(y^2 - 1)^2 = 0$$ $$y^2 = 1$$ $$y = \pm 1$$ Теперь найдем $$x$$: Если $$y = 1$$, то $$x = 2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$$. Если $$y = -1$$, то $$x = 2 - (-1)^2 = 2 - 1 = 1$$. Итого, решения системы: $$(1, 1)$$ и $$(1, -1)$$. г) $$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5 \\ xy^2 = 2 \end{cases}$$ Выразим $$x$$ из второго уравнения: $$x = \frac{2}{y^2}$$. Подставим это в первое уравнение: $$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$$ $$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$$ Умножим обе части на $$y^4$$: $$4 + y^8 = 5y^4$$ $$y^8 - 5y^4 + 4 = 0$$ Пусть $$z = y^4$$. Тогда $$z^2 - 5z + 4 = 0$$. $$z_1 = \frac{5 + \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 + 3}{2} = 4$$ $$z_2 = \frac{5 - \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 - 3}{2} = 1$$ Если $$z = 4$$, то $$y^4 = 4$$, значит $$y^2 = 2$$, и $$y = \pm \sqrt{2}$$. Если $$z = 1$$, то $$y^4 = 1$$, значит $$y^2 = 1$$, и $$y = \pm 1$$. Теперь найдем соответствующие значения $$x$$: Если $$y = \sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$$. Если $$y = -\sqrt{2}$$, то $$x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$$. Если $$y = 1$$, то $$x = \frac{2}{(1)^2} = \frac{2}{1} = 2$$. Если $$y = -1$$, то $$x = \frac{2}{(-1)^2} = \frac{2}{1} = 2$$. Итого, решения системы: $$(1, \sqrt{2})$$, $$(1, -\sqrt{2})$$, $$(2, 1)$$, $$(2, -1)$$. Ответ: а) (3, 3) и (-3, 3) б) (3, 1) и (-3, 1) в) (1, 1) и (1, -1) г) (1, √2), (1, -√2), (2, 1), (2, -1)