13 а) Решите уравнение $$(2sin^2x - (\sqrt{3}+2) sinx + \sqrt{3}) log_{\frac{2}{7}} (\sqrt{2} cosx) = 0$$. б) Найдите все корни уравнения, принадлежащие промежутку [$$\pi$$; $$3\pi$$].

а) Решим уравнение $$(2\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2)\sin x + \sqrt{3}) \log_{\frac{2}{7}}(\sqrt{2}\cos x) = 0$$. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл. Рассмотрим два случая: 1) $$\log_{\frac{2}{7}}(\sqrt{2}\cos x) = 0$$. Тогда $$\sqrt{2}\cos x = 1$$, следовательно, $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$. $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. 2) $$2\sin^2 x - (\sqrt{3} + 2)\sin x + \sqrt{3} = 0$$. Обозначим $$\sin x = t$$, тогда $$2t^2 - (\sqrt{3} + 2)t + \sqrt{3} = 0$$. Найдем дискриминант: $$D = (\sqrt{3} + 2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 3 + 4\sqrt{3} + 4 - 8\sqrt{3} = 7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$$ Тогда корни: $$t_1 = \frac{\sqrt{3} + 2 + 2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$$ $$t_2 = \frac{\sqrt{3} + 2 - 2 + \sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Тогда: $$\sin x = 1$$, следовательно, $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$. $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, следовательно, $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$ или $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi l$$, где $$m, l \in \mathbb{Z}$$. ОДЗ: $$\sqrt{2}\cos x > 0$$, то есть $$\cos x > 0$$. Из первого случая: $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, $$\cos x > 0$$ при $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. Из второго случая: $$\sin x = 1$$, $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$, $$\cos(\frac{\pi}{2} + 2\pi n) = 0$$ - не удовлетворяет ОДЗ. $$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$, $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$ или $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi l$$, где $$m, l \in \mathbb{Z}$$. $$\cos(\frac{\pi}{3} + 2\pi m) = \frac{1}{2} > 0$$ - удовлетворяет ОДЗ. $$\cos(\frac{2\pi}{3} + 2\pi l) = -\frac{1}{2} < 0$$ - не удовлетворяет ОДЗ. Итого, решения: $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$. б) Найдем корни, принадлежащие промежутку $$[\pi; 3\pi]$$. 1) $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, где $$k \in \mathbb{Z}$$. $$\pi \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq 3\pi$$ $$1 \leq \frac{1}{4} + 2k \leq 3$$ $$\frac{3}{4} \leq 2k \leq \frac{11}{4}$$ $$\frac{3}{8} \leq k \leq \frac{11}{8}$$ Так как $$k \in \mathbb{Z}$$, то $$k = 1$$. $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$$ 2) $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$, где $$m \in \mathbb{Z}$$. $$\pi \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi m \leq 3\pi$$ $$1 \leq \frac{1}{3} + 2m \leq 3$$ $$\frac{2}{3} \leq 2m \leq \frac{8}{3}$$ $$\frac{1}{3} \leq m \leq \frac{4}{3}$$ Так как $$m \in \mathbb{Z}$$, то $$m = 1$$. $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k$$, $$x = \frac{\pi}{3} + 2\pi m$$, где $$k, m \in \mathbb{Z}$$. б) $$\frac{9\pi}{4}$$, $$\frac{7\pi}{3}$$.