А1. Выполните действия: a) $$(\frac{x}{5} + \frac{x}{2}) \cdot \frac{10}{a^2}$$; б) $$(1 - \frac{1}{a}) : \frac{a-1}{3a^2}$$; в) $$(1 + \frac{y}{x}) : (\frac{y}{x} - 1)$$.

a) $$(\frac{x}{5} + \frac{x}{2}) \cdot \frac{10}{a^2}$$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$$\frac{x}{5} + \frac{x}{2} = \frac{2x}{10} + \frac{5x}{10} = \frac{2x + 5x}{10} = \frac{7x}{10}$$

Теперь умножим полученную дробь на $$\frac{10}{a^2}$$:

$$\frac{7x}{10} \cdot \frac{10}{a^2} = \frac{7x \cdot 10}{10 \cdot a^2} = \frac{70x}{10a^2}$$

Сократим дробь на 10:

$$\frac{70x}{10a^2} = \frac{7x}{a^2}$$

Ответ: $$\frac{7x}{a^2}$$

б) $$(1 - \frac{1}{a}) : \frac{a-1}{3a^2}$$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$$1 - \frac{1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}$$

Теперь разделим полученную дробь на $$\frac{a-1}{3a^2}$$:

$$\frac{a-1}{a} : \frac{a-1}{3a^2} = \frac{a-1}{a} \cdot \frac{3a^2}{a-1} = \frac{(a-1) \cdot 3a^2}{a \cdot (a-1)}$$

Сократим дробь на $$(a-1)$$ и $$a$$:

$$\frac{(a-1) \cdot 3a^2}{a \cdot (a-1)} = \frac{3a}{1} = 3a$$

Ответ: $$3a$$

в) $$(1 + \frac{y}{x}) : (\frac{y}{x} - 1)$$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$$1 + \frac{y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = \frac{x+y}{x}$$

$$\frac{y}{x} - 1 = \frac{y}{x} - \frac{x}{x} = \frac{y-x}{x}$$

Теперь разделим полученные дроби:

$$\frac{x+y}{x} : \frac{y-x}{x} = \frac{x+y}{x} \cdot \frac{x}{y-x} = \frac{(x+y) \cdot x}{x \cdot (y-x)}$$

Сократим дробь на $$x$$:

$$\frac{(x+y) \cdot x}{x \cdot (y-x)} = \frac{x+y}{y-x}$$

Ответ: $$\frac{x+y}{y-x}$$