ABCD - трапеция, ∠A = 60° AB = 12, BC = 4 Найти: EF EF - ср. линия трапеции ABCD, Е₁ F1 - ср. линия трапеции AEFD, E2F2 - ср. линия трапеции EBCF, E1F1 = 16, E2F2 = 14 Найти: ВС

Первая задача: ABCD - трапеция, ∠A = 60°, AB = 12, BC = 4. Найти: EF

EF - средняя линия трапеции, значит, $$EF = \frac{BC + AD}{2}$$. Необходимо найти AD.

Проведем высоту BH из вершины B к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем ∠A = 60°, AB = 12. Найдем AH.

$$AH = AB \cdot cos A = 12 \cdot cos 60\degree = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$AD = BC + 2 \cdot AH = 4 + 2 \cdot 6 = 4 + 12 = 16$$

Теперь найдем EF:

$$EF = \frac{BC + AD}{2} = \frac{4 + 16}{2} = \frac{20}{2} = 10$$

Ответ: EF = 10.

Вторая задача: EF - ср. линия трапеции ABCD, E₁F₁ - ср. линия трапеции AEFD, E₂F₂ - ср. линия трапеции EBCF, E₁F₁ = 16, E₂F₂ = 14. Найти: ВС

E₁F₁ - средняя линия трапеции AEFD, значит, $$E_1F_1 = \frac{AD + EF}{2}$$

E₂F₂ - средняя линия трапеции EBCF, значит, $$E_2F_2 = \frac{EF + BC}{2}$$

EF - средняя линия трапеции ABCD, значит, $$EF = \frac{AD + BC}{2}$$

Выразим AD из первого уравнения: $$AD = 2E_1F_1 - EF = 2 \cdot 16 - EF = 32 - EF$$

Выразим BC из второго уравнения: $$BC = 2E_2F_2 - EF = 2 \cdot 14 - EF = 28 - EF$$

Подставим AD и BC в третье уравнение:

$$EF = \frac{32 - EF + 28 - EF}{2}$$ $$2EF = 60 - 2EF$$ $$4EF = 60$$ $$EF = 15$$

Теперь найдем BC:

$$BC = 28 - EF = 28 - 15 = 13$$

Ответ: BC = 13.