253. б) Постройте график функции $$\begin{cases} -x^2, \text{если } |x| \le 1 \\ \frac{1}{x}, \text{если } |x| > 1 \end{cases}$$. Определите, при каких значениях параметра $$m$$ прямая $$y=m$$ имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Для решения этой задачи необходимо построить график функции и определить значения $$m$$, при которых прямая $$y=m$$ пересекает график ровно в одной точке. 1. Рассмотрим функцию $$y = -x^2$$ при $$|x| \le 1$$, т.е. $$-1 \le x \le 1$$. Это парабола с вершиной в точке $$(0, 0)$$, ветви направлены вниз. В точках $$x = -1$$ и $$x = 1$$ функция принимает значение $$y = -1$$. 2. Рассмотрим функцию $$y = \frac{1}{x}$$ при $$|x| > 1$$, т.е. $$x < -1$$ или $$x > 1$$. Это гипербола. При $$x > 1$$ функция убывает от $$1$$ до $$0$$, а при $$x < -1$$ функция возрастает от $$0$$ до $$-1$$. 3. Теперь нужно определить, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку. * При $$m = 0$$ прямая $$y = 0$$ пересекает график функции $$y = \frac{1}{x}$$ в бесконечности, а значит, общих точек нет. * При $$m = -1$$ прямая $$y = -1$$ касается графика функции $$y = -x^2$$ в точках $$x = -1$$ и $$x = 1$$, а также является асимптотой для функции $$y = \frac{1}{x}$$. Значит, прямая $$y = -1$$ имеет три общие точки с графиком. * При $$m > 0$$ прямая $$y = m$$ пересекает график функции $$y = \frac{1}{x}$$ в двух точках. * При $$-1 < m < 0$$ прямая $$y = m$$ пересекает параболу $$y = -x^2$$ в двух точках. * При $$m < -1$$ прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком функции. 4. Проанализируем график функции. Одна общая точка у прямой $$y=m$$ будет при $$m>0$$, т.к. прямая $$y=m$$ будет пересекать график функции $$y=\frac{1}{x}$$ только один раз. Ответ: $$m > 0$$.