2. (17 баллов) В некотором городе живут 200 человек: рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Каждый житель города имеет одно увлечение: рисование, пение или танцы. Опросили каждого жителя города и задали три вопроса: 1) Увлекаетесь ли Вы рисованием? 2) Увлекаетесь ли Вы пением? 3) Увлекаетесь ли Вы танцами? На первый вопрос отрицательно ответили 50 человек, на второй - 140 человек и на третий – 150 человек. Сколько лжецов живёт в городе?

Пусть Р - количество жителей, увлекающихся рисованием, П - количество жителей, увлекающихся пением, Т - количество жителей, увлекающихся танцами. Пусть Л - количество лжецов, а И - количество рыцарей (И = 200 - Л). Каждый житель имеет одно увлечение, следовательно Р + П + Т = 200.

На первый вопрос отрицательно ответили 50 человек. Значит, Р + Л1 = 50, где Л1 - лжецы, ответившие отрицательно, что увлекаются рисованием. На второй вопрос отрицательно ответили 140 человек. Значит, П + Л2 = 140, где Л2 - лжецы, ответившие отрицательно, что увлекаются пением. На третий вопрос отрицательно ответили 150 человек. Значит, Т + Л3 = 150, где Л3 - лжецы, ответившие отрицательно, что увлекаются танцами.

Получается система уравнений:

Р + П + Т = 200
Р + Л1 = 50
П + Л2 = 140
Т + Л3 = 150

Лжецы, которые не увлекаются рисованием (Л1), это те лжецы, которые увлекаются пением и танцами. Л1 = Л - Р1, где Р1 - рыцари, увлекающиеся рисованием. Аналогично, Л2 = Л - Р2, где Р2 - рыцари, увлекающиеся пением, и Л3 = Л - Р3, где Р3 - рыцари, увлекающиеся танцами. Р1 + Р2 + Р3 = И = 200 - Л.

Складываем уравнения, где отрицательно ответили на вопросы:
Р + Л1 + П + Л2 + Т + Л3 = 50 + 140 + 150 = 340
(Р + П + Т) + (Л1 + Л2 + Л3) = 340
200 + (Л1 + Л2 + Л3) = 340
Л1 + Л2 + Л3 = 340 - 200 = 140
(Л - Р1) + (Л - Р2) + (Л - Р3) = 140
3Л - (Р1 + Р2 + Р3) = 140
3Л - И = 140
3Л - (200 - Л) = 140
3Л - 200 + Л = 140
4Л = 140 + 200
4Л = 340
Л = 340 / 4
Л = 85

Ответ: 85 лжецов живёт в городе.